Halaman
59MATEMATIKABab 3Lingkaran1.Mengidentifikasi unsur, keliling, dan luas dari lingkaran.2.Menentukan hubungan sudut pusat, panjang busur, dan luas juring.3.Menyelesaikan permasalahan nyata yang terkait penerapan hubungan sudut pusat, panjang busur, dan luas juring.KD ompetensi asar•Lingkaran•Busur•Juring•pi (π)ata KunciK 1.Mengidentifikasi unsur-unsur lingkaran.2.Memahami hubungan antar unsur pada lingkaran.3.Mengidentifikasi luas juring dan panjang busur lingkaran.4.Menentukan hubungan sudut pusat dengan panjang busur.5.Menentukan hubungan sudut pusat dengan luas juring.6.Menentukan hubungan sudut pusat dengan sudut keliling.7.Menyelesaikan permasalahan nyata yang terkait penerapan hubungan sudut pusat, panjang busur, dan luas juring.PB engalamanelajarLingkaran adalah salah satu bentuk geometri datar yang banyak kita temui dan kita manfaatkan dalam kehidupan sehari-hari. Lingkaran berguna dalam banyak bidang kehidupan, misal: olah raga, arsitektur, dan teknologi. Banyak alat olah raga yang memanfaatkan bentuk lingkaran seperti pada bentuk lapangan silat, papan target panahan, dan keranjang basket. Bagi seorang arsitek, bentuk lingkaran dinilai memiliki bentuk yang indah untuk mendekorasi rumah, maupun gedung perkantoran. Seperti bentuk pintu, jendela, atap rumah. Kemudian, pada bidang teknologi bentuk lingkaran juga sering kita jumpai, seperti roda mobil, roda motor, setir mobil memanfaatkan bentuk lingkaran.
60Kelas VIII SMP/MTsSemester 2PK etaonsepLingkaranUnsur-Unsur LingkaranHubungan Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas JuringMenyelesaikan Permasalahan Nyata Yang Terkait Penerapan Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur, Dan Luas Juring
61Zu Chungzhi lahir di kota Jiankang (Nanjing), Tiongkok pada tahun 429M. Sejak kecil ia sangat cerdas dan suka pengetahuan di bidang matematika dan astronomi. Pada tahun 464, Zu Chungzhi mulai tertarik untuk menemukan bilangan π. Dari sekiah ahli matematika Tiongkok yang berupaya menemukan bilangan π, Zu Chungzhi mampu menemukan bilangan yang paling akurat dengan π yang saat ini kita gunakan.Sebelum Zu Chungzhi, ahli matematika Tiongkok Liu Hui mengajukan cara ilmiah untuk menghitungkan π, dengan panjang keliling poligon beraturan di dalam lingkaran untuk mendekati panjang keliling lingkaran yang asli. Dengan cara ini Liu Hui berhasil menemukan π sampai 4 angka dibelakang koma. Sedangkan melalui penelitian pada abad ke-50, Zu Chungzhi mampu menemukan bilangan π dengan ketelitian sampai 6 angka di belakang koma dibandingkan dengan bilangan π saat ini. Zu Chungzhi juga menemukan nilai mirip π dalam bentuk bilangan pecahan 113355.Teladan yang bisa dicontoh dari Zu Chungzhi antara lain:Zu Chungzhi adalah seorang yang tekun dan gigih dalam berusaha. Meskipun orang-orang sebelumnya sudah menemukan π yang sudah mendekati, Zu Chungzhi tetap gigih berusaha untuk menemukan π yang lebih mendekati.Sebagai seorang Tiongkok, Zu Chungzhi punya keingintahuan terhadap ilmu pengetahuan yang besar. Selain menemukan π, Zu Chungzhi juga banyak menemukan penemuan di bidang astronomi.Zu Chongzhi(429 - 500 M)
62Kelas VIII SMP/MTsSemester 2Lingkaran adalah himpunan semua titik-titik pada bidang datar yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu, yang disebut titik pusat. Jarak yang sama tersebut disebut jari-jari.Lingkaran adalah salah satu kurva tutup sederhana yang membagi bidang menjadi dua bagian, yaitu bagian dalam dan bagian luar lingkaran.Nama lingkaran biasanya sesuai dengan nama titik pusatnya. Pada gambar di samping contoh bentuk lingkaran P. Jarak yang tetap antara titik pada lingkaran dengan pusat lingkaran dinamakan jari-jari, biasanya disimbolkan r.PrSelain titik pusat dan jari-jari, masih banyak istilah yang berkaitan dengan lingkaran yang akan kita pelajari pada Kegiatan 1. Dengan pemahaman tentang istilah-istilah tersebut kalian bisa memecahkan berbagai masalah yang terkait dengan lingkaran.Seperti yang diungkapkan pada pengantar Bab Lingkaran, bentuk-bentuk lingkaran banyak kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Berikut ini beberapa masalah sehari-hari yang berkaitan dengan lingkaran. Bisakah kalian menemukan solusinya?Masalah3.1Alternatif Pemecahan MasalahSeorang tukang kayu yang membuat peralatan rumah tangga, perlu untuk memotong papan yang berbentuk persegi atau persegipanjang menjadi lingkaran. Tukang kayu tersebut menemui masalah untuk menentukan titik pusat lingkaran yang akan dibuat. Dapatkah kalian membantu tukang kayu agar mendapatkan bentuk lingkaran sebesar mungkin dari papan-papan tersebut?Langkah 1: Sketsalah bentuk persegi pada papan tersebutLangkah 2:Gambarlah kedua diagonal persegi tersebut hingga bertemu di satu titik.Langkah 3: Lingkaran bisa digambar dengan pusat titik tersebut dan jari-jari setengah panjang sisi persegi Sumber pusathalal.comGambar 2.1 Tukang kayuUnsur-Unsur LingkaranA
63MATEMATIKAMasalah3.2Gambar 3.2 di samping adalah foto salah satu peninggalan sejarah, yaitu stonehenge yang berada di Inggris. Seorang arkeolog menduga, bentuk utuh stonehengeadalah lingkaran. Namun dia tidak bisa menentukan berapakah jari-jari lingkaran dari susunan stonehenge, karena bentuknya hanya berupa busur. Andaikan kalian menjadi penemu tersebut, apa yang kalian lakukan untuk menentukan posisi titk pusat stonehenge dan membuat sketsa lingkaran.Alternatif Pemecahan MasalahLangkah 1: Buatlah sketsa dari bentuk stonhenge tersebut.Langkah 2: Buatlah dua ruas garis lurus yang terbentuk dari dua pasang titik pada lingkaran.Langkah 3: Buatlah garis bagi tegak lurus pada kedua ruas garis yang kalian buat. Kedua garis bagi tersebut berpotongan tepat di satu titik. Titik tersebut adalah titik pusat lingkaran.Langkah 4: Ukurlah jarak antara titik pusat tersebut dengan suatu titik pada lingkaran, yang selanjutnya disebut jari-jari.Langkah 5: Dengan titik pusat dari jari-jari tersebut kalian bisa menggambar ukuran utuh stonehenge.Dari dua contoh permasalahan tersebut telah disajikan manfaat lingkaran dalam kehidupan tukang kayu dan arkeolog. Untuk mengikuti langkah-langkah tersebut tentunya bukan permasalahan yang susah. Masalahnya adalah “Mengapa langkah-langkah tersebut benar?”. Untuk menjawab pertanyaan tersebut, kalian harus memahami istilah-istilah yang terkait dengan lingkaran, selanjutnya disebut unsur-unsur lingkaran. Masih banyak lagi permasalahan yang bisa kalian cari solusinya dengan memahami unsur-unsur lingkaran. Pada Kegiatan 3.1, kalian akan akan melakukan aktifitas untuk memahami beberapa unsur lingkaran serta hubungan antar beberapa unsur lingkaran.Sumber: jonosbrothers.wordpress.comGambar 3.2 Stonehenge
64Kelas VIII SMP/MTsSemester 2a.Unsur-unsur lingkaran yang berupa garis dan ciri-cirinyaegiatanK 3.1Mengidentifikasi Unsur-unsur LingkaranPengalaman belajar yang diharapkan setelah kalian melakukan kegiatan 3.1 adalah:1.Mampu mendefinisikan unsur-unsur lingkaran dengan kalimat sendiri2.Mampu memahami hubungan antar unsur-unsur lingkaran3.Mampu menyelesaikan permasalahan yang terkait dengan unsur-unsur lingkaranKata unsur-unsur lingkaran dalam bahasan ini adalah istilah yang terkait dengan lingkaran. Unsur-unsur yang akan kita pelajari pada kegiatan 1 ini antara lain :a.Unsur lingkaran berupa garis (atau ruas garis): busur (busur besar, busur kecil), tali busur, jari-jari, diameter, apotema.b.Unsur lingkaran berupa luasan : Juring, temberengBerikut disajikan bentuk masing-masing unsur lingkaran yang dimaksud di atas. Perhatikan bagian dengan tanda warna merah, serta ciri-ciri dari setiap unsur tersebut. Silakan kalian merangkai kalimat dari pemahamam kalian terhadap gambar dan ciri-ciri yang disajikan berikut.AyoKita AmatiBusurCiri-ciri♦Berupa kurva lengkung♦Berhimpit dengan lingkaran♦Jika kurang dari setengah lingkaran (busur minor)Jika lebih dari setengah lingkaran (busur mayor)Keterangan : Untuk selanjutnya, jika tidak disebutkan mayor atau minor, maka yang dimaksud adalah minor.Simbol : (AD, (ACD, dan (STOAminorDPADCmayorQST
65MATEMATIKAJari-jariCiri-ciri♦Berupa ruas garis♦Menghubungan titik pada lingkaran dengan titik pusatPenulisan simbol :OD, PM, dan QS.ODPMOSDiameterCiri-ciri♦Berupa ruas garis♦Menghubungkan dua titik pada lingkaranMelalui titik pusat lingkaranODBPMJOUSTali busurCiri-ciri♦Berupa ruas garis♦Menghubungkan dua titik pada lingkaranOEFPIROSUI
66Kelas VIII SMP/MTsSemester 2ApotemaCiri-ciri♦Berupa ruas garis♦Menghubungkan titik pusat dengan satu titik di tali busur♦Tegak lurus dengan tali busurOEF∟PIR∟Tidak memiliki apotema terhadap tali busur SU (di Gambar tali busur)B.Unsur-unsur Lingkaran yang Berupa Luasan dan Ciri-cirinyaJuringCiri-ciri♦Berupa daerah di dalam lingkaran♦Dibatasi oleh dua jari-jari dan satu busur lingkaran♦Jari-jari yang membatasi memuat titik ujung busur lingkaranOBAminorPGJmayorKJQTemberengCiri-ciri♦Berupa daerah di dalam lingkaran♦Dibatasi oleh talibusur dan busur lingkaranOBAminorPGJmayorKJQ
67MATEMATIKASelain istilah yang disajikan, ada satu istilah lagi yang erat kaitannya dengan lingkaran, yaitu sudut pusat. Perhatikan gambar dan ciri-cirinya berikut.Sudut pusat(α, β, θ)Ciri-ciri♦Terbentuk dari dua sinar garis (kaki sudut)♦Kaki sudut berhimpit dengan jari-jari lingkaran ♦Titik sudut berhimpit dengan titik pusat lingkaran∠AOBOBAα∠JPGPGJβ∠KQJQKJθDari pengamatan kalian pada gambar-gambar unsur-unsur lingkaran, rangkailah pengertian tiap unsur tersebut dengan kalimat kalian sendiri. (jangan takut salah)1.Busur adalah ...2.Tali busur adalah ....3.Jari-jari adalah ....4.Diameter adalah ....5.Apotema adalah ....6.Juring adalah ....7.Tembereng adalah ....8.Sudut pusat adalah ....Dengan mengamati dari sudut pandang lain ciri-ciri unsur-unsur tersebut, kalian bisa membuat pengertian berbeda dari suatu unsur namun tetap memiliki makna sama. Untuk istilah busur, juring, tembereng, maupun sudut, jika tidak disebutkan secara spesifik minor atau mayor, maka kita sepakati minor.Ayo KitaMenanya??Berdasarkan hasil pengamatan kalian, coba tuliskan pertanyaan tentang hal yang ingin kalian ketahui jawabannya. Buatlah pertanyaan yang memuat kata “unsur lingkaran”, atau salah satu dari unsur lingkarang yang disajikan pada kegiatan Ayo Kita Amati.
68Kelas VIII SMP/MTsSemester 2Coba kalian kaitkan pengertian masing-masing unsur lingkaran yang kalian buat tadi dengan hubungan beberapa pasangan unsur berikut.Tabel 3.1 Hubungan Antar Unsur-unsur LingkaranUnsur 1Unsur 2HubunganDiameterJari-jariPanjang diameter adalah 2 kali panjang jari-jariBusur kecilBusur besar (yang bersesuaian dengan busur kecil)Jumlah panjang busur besar dengan busur kecil sama dengan keliling lingkaranBusurKeliling lingkaranBusur adalah bagian dari keliling lingkaran. Atau Keliling lingkaran adalah busur terbesarTali busurDiameterDiameter adalah tali busur terpanjang.ApotemaTali BusurApotema selalu tegak lurus dengan suatu tali busurJuringTemberengLuas tembereng sama dengan luas juring dikurangi segitiga yang sisinya adalah dua jari-jari yang membatasi juring dan tali busur pembatas tembereng.Sudut pusatJuringLuas juring sebanding dengan besar sudut pusat lingkaran (akan ditemukan di kegiatan 3.3)Sudut pusatBusurPanjang busur sebanding dengan sudut pusat lingkaran (akan ditemukan di kegiatan 3.3)Presentasikan hasil dari kegiatan menalar yang kamu peroleh kepada temanmu sekelas. Sajikan pula pengertian dari unsur-unsur lingkaran dengan bahasamu sendiri.1.Apakah setiap tali busur adalah diameter? Jelaskan.2.Apakah setiap diameter adalah tali busur? Jelaskan.3.Apakah lingkaran adalah busur? Jelaskan.4.Pada tali busur yang bagaimana tidak memiliki pasangan epotema? Jelaskan.5.Misalkan diketahui suatu lingkaran, Bagaimana cara kalian menentukan titik pusatnya? Jelaskan.Ayo KitaMenalarAyo KitaBerbagiAyo KitaMenggali Informasi+=+Kritisi hubungan padata Tabel 3.1. Mungkin kalian bisa menemukan hubungan lain yang berbeda. Silakan kalian sebutkan suatu hubungan unsur-unsur pada lingkaran yang belum ada pada Tabel di atas.
69MATEMATIKA1.Tentukan jari-jari lingkaran yang diketahui diameternya adalah 13 cm.2.Diketahui panjang jari-jari lingkaran O adalah 0,35 cm. Tentukan panjang diameternya.3.Apakah perpotongan dua diameter selalu di titik pusat? Jelaskan.4.Perhatikag gambar di samping.Garis adalah garis sumbu tali busur AB.Garis adalah garis sumbu tali busur CD.Titik P adalah perpotongan garis sumbu k dan l.Benarkah perpotongan kedua garis sumbu tersebut tepat di titik pusat? Jelaskan.5.Adakah tali busur yang lebih panjang dari diameter? Jelaskan6.Apakah panjang apotema bisa lebih dari jari-jari? Jelaskan.7.Perhatikan gambar di samping.Sebutkan maksimal 5 bagian yang disebuta.Jari-jarib.Diameterc.Tali busurd.Juringe.Busurf.Temberengg.Apotema8.Dibutuhkan berapa diameter untuk membagi suatu lingkaran menjadi 32 bagian?9.Seorang membagi daerah di dalam lingkaran dengan menggambarkan 6 tali busur. Berapa daerah terbanyak yang bisa dibuat? Jelaskan.10.Bu Erna memiliki suatu kue berbentuk lingkaran. Bu Erna ingin membagi kue-kue tersebut menjadi 8 bagian yang sama dengan sebuah pisau. Tentukan berapa kali paling sedikit Bu Erna memotong kue tersebut. Jelaskan. Latihan!?!?3.1PkBAClDOEDECBA
70Kelas VIII SMP/MTsSemester 2Sudut Pusat Dan Sudut KelilingBPada kagiatan 1 kalian sudah mengenal tentang istilah sudut pusat dan ciri-cirinya. Pada kegiatan 2 ini kalian akan diperkenalkan dengan satu unsur lagi, yaitu sudut keliling.Sudut keliling adalah sudut yang kaki sudutnya berhimpit dengan tali busur, dan titik pusatnya berhimpit dengan suatu titik pada lingkaran.BCOGambar 3.3 Sudut keliling ABCBCOGambar 3.4 Busur ACPada Gambar 3.3, bisa kita amati sudut keliling ABC pada lingkaran O. Kaki-kaki sudut ABC (sinar BA dan sinar BC)memotong lingkaran di titik A dan C. Dengan kata lain sudut keliling ABC menghadap busur AC. Tahukan kalian, antara sudut keliling dan sudut pusat yang menghadap busur sama mempunyai hubungan khusus. Mari mencari tahu hubungan tersebut melalui kegiatan 3.2 berikut.ADiskusikan1.Apakah ada sudut keliling yang kaki sudutnya adalah suatu diameter dan suatu tali busur lingkaran? jelaskan.2.Apakah ada sudut keliling yang kedua kaki sudutnya adalah diameter lingkaran?A
71MATEMATIKAegiatanK 3.2Memahami Hubungan antara Sudut Pusat dengan Sudut Keliling yang Menghadap Busur SamaPengalaman belajar yang diharapkan setelah kalian melakukan kegiatan 2 adalah:1.Menemukan hubungan antara sudut pusat dengan sudut keliling yang menghadap busur sama2.Menemukan hubungan antar sudut keliling yang menghadap busur sama3.Menemukan hubungan sudut yang saling berhadapan pada segi empat tali busurMasalah3.3Pada Gambar 3.3, bisa kita amati sudut keliling ABC (∠ABC) pada lingkaran O. Kaki-kaki ∠ABCmemotong lingkaran di titik A dan C. Dengan kata lain sudut keliling ABC menghadap busur AC (AC). Tahukan kalian, antara sudut keliling dan sudut pusat yang menghadap busur sama mempunyai hubungan khusus. Bagaimanakah hubungan tersebut? Kalian akan mencoba memahami hubungan antar unsur-unsur tersebut dengan melakukan aktivitas melipat-lipat kertas. Oleh karena ini pastikan kalian sudah mempersiapkan alat dan bahan berikut:1.1 Jangka2.1 busur derajat,3.1 gunting,4.1 penggaris,5.6 lembar kertas HVS (boleh lebih).AyoKita AmatiTabel 3.2 Sudut Keliling dan Sudut Pusat yang Menghadap Busur SamaSudut pusat ∠AOBm∠AOB = 90°menghadap (ABOAB∟∠KOLm∠KOL = 120°menghadap (KLOKL∠MONm∠MON = 60°menghadap (MNONMSudut keliling ∠ACBm∠ACB = ...?menghadap (ABOABC∠KDLm∠KDL = ...?menghadap (KLDOKL∠MEN dan ∠MFNm∠MEN = ...? danm∠MFN = ...?menghadap (MNONMFEKeterangan simbol “m∠...” menyatakan ukuran sudut, sedangkan “∠...” menyatakan nama sudut.120º60º
72Kelas VIII SMP/MTsSemester 2Berdasarkan hasil pengamatan kalian pada kegiatan mengamati, tuliskan pertanyaan tentang hal yang ingin kalian ketahui jawabannya.Pertanyaan yang kalian buat adalah tentang hubungan “sudut pusat” dengan “sudut keliling”.Contoh pertanyaan:Jika diketahui m=∠AOB (sudut pusat) adalah 90°. Berapakah m=∠ACB (sudut keliling).Ayo KitaMenanya??Sebelum kegiatan menggali informasi coba berikan ide kalian menentukan titik pusat suatu kertas yang berbentuk lingkaran.Pada kegiatan Ayo Kita Amati kalian sudah mengamati tentang gambar sudut keliling dan sudut pusat yang menghadap busur sama. Yang menjadi permasalahan sekarang adalah :1)Berapakah ukuran sudut keliling, jika sudut pusatnya diketahui?, atau2)Berapakah ukuran sudut pusat, jika sudut kelilingnya diketahui?Untuk mengetahui hubungan tersebut, kalian perlu mencarinya. Salah satu cara untuk mencari tahu hubungan antara sudut pusat dengan sudut keliling yang menghadap busur sama adalah dengan kegiatan melipat-lipat kertas. Ikuti kegiatan berikut.1.Buatlah sketsa dua lingkaran dengan jari-jari sama (misal 5 cm), lalu guntinglah dengan rapi.2.Lipatlah kedua lingkaran sehingga membentuk sudut pusat 90o. Lalu tandai 2 titik pada busur yang terbentuk misal titik A dan B.3.Buka salah satu lipatan tersebut, lalu lipat membentuk sudut keliling tertentu yang masing-masing kaki sudutnya melalui titik A dan B. (Keterangan: Misal kaki sudut satu melalui titik A, maka kaki sudut lainnya melalui titik B)4.Bandingkan besar sudut keliling dengan sudut pusat yang telah kalian buat.5.Lakukan kembali langkah 1 sampai 4 untuk tiga sudut pusat berbeda.6.Gunakan busur derajat untuk mengukur besar sudut pusat yang kalian buat.7.Catatlah hasil percobaan kalian pada tabel berikut.Ukuran sudut pusatUkuran sudut kelilingke lilingsudut Ukuran pusatsudutUkuran Dari data yang kalian catat, buatlah simpulan tentang hubungan sudut keliling dengan sudut pusat.Ayo KitaMenggali Informasi+=+
73MATEMATIKAPerhatikan gambar ke enam pada kegiatan Ayo Kita Amati. 1.Pada gambar tersebut sebutkan sudut keliling yang terbentuk ....2.Kedua sudut keliling serta sudut pusat menghadap busur yang sama, yaitu ....3.Menurut kalian bagaimanakah hubungan antara kedua sudut keliling tersebut? Jelaskan.4.Seandainya kalian membuat sebarang sudut keliling baru yang menghadap busur MN. Bagaimanakah hubungan antara sudut keliling baru tersebut dengan sudut keliling MEN dan MFN?....5.Seandainya kalian disuruh membuat semua sudut keliling yang menghadap busur MN. Berapa banyak sudut keliling yang bisa kalian buat?6.Bagaimanakah hubungan antar semua sudut keliling tersebut? Jelaskan.7.Bagaimanakah hubungan antara semua sudut keliling tersebut dengan sudut pusat yang menghadap busur yang sama? Jelaskan.8.Seandainya kalian diberikan suatu kertas yang berbentuk lingkaran. Bagaimanakah cara kalian membuat sudut keliling yang besarnya tepat 90o dengan cara melipat-lipat kertas tersebut? Jelaskan langkah kalian.Presentasi jawaban pada kegiatan menalar kalian pada teman-teman di kelas. Bandingkan dengan jawaban teman kalian yang lain.Ayo KitaMenalarONMFESegi Empat Tali BusurPerhatikan segi empat tali busur ABCD berikut.Dengan kegiatan menalar berikut, diharapkan kalian mampu menemukan hubungan antara dua sudut yang saling berhadapan.1.Segi empat tali busur ABCD tersusun atas dua pasang sudut keliling yang saling berhadapan. Tuliskan kedua pasang sudut keliling tersebut.2.Amati busur yang dihadapi oleh masing-masing sudut keliling yang saling berhadapan Bagaimanakah kedua busur tersebut?3.Kaitkan dengan hubungan sudut keliling dan sudut pusat yang telah kalian temukan. Lalu simpulkan hubungan antara dua sudut yang saling berhadapan pada segi empat tali busur tersebut.Segi empat tali busur adalah segi empat yang keempat titik sudutnya berhimpit dengan suatu lingkaran.Ayo KitaBerbagiBCADGambar 3.5 Segi empat tali busur ABCD
74Kelas VIII SMP/MTsSemester 21. Suatu sudut keliling dan sudut pusat menghadap busur yang sama. Jika sudut pusat berukuran 130o maka besar sudut keliling tersebut adalah ...2. Diketahui sudut pusat POQ dan sudut keliling PA Q. Besar sudut PA Q adalah 130o. Tentukan besar sudut POQ.3. Perhatikan gambar di samping.Diketahui besar ∠MAN adalah 160o. Tentukan besar ∠MON.4.Perhatikan segi empat PQRS di samping.Diketahui m∠PQR = 125°, m∠QRS= 78°Tentukan m∠SPQ dan m∠RSP.5.Perhatikan lingkaran O di samping.Diketahui m∠BAD = x + 20°, m∠BCD = 3xTentukan m∠BOD minor dan m∠BOD mayor .Latihan!?!?3.2ANMOQRPSBCADO
75MATEMATIKAPanjang Busur dan Luas Juring LingkaranCPada Kegiatan 3.1 kalian sudah mendapatkan informasi tentang ciri-ciri sudut pusat, panjang busur, dan juring lingkaran. Panjang busur sebanding dengan sudut pusat yang menghadapnya. Begitupun uas juring sebanding dengan sudut pusat yang bersesuaian dengan juring tersebut. Perhatikan bagian yang berwarna merah pada gambar berikut.BAOαSudut pusat AOB atau ∠AOBOαBABusur AB atau AB(OαBASudut pusat AOB atau ∠AOBLuas Juring AOBOαBADari ilustrasi di atas kita bisa amati panjang busur AB bersesuaian dengan sudut pusat α, begitupun luas juring AOB bersesuaian dengan sudut pusat α.Ukuran sudut pusat lingkaran adalah antara 0°hingga 360°.1.Apakah hubungan antara sudut pusat dengan panjang busur lingkaran?2.Apakah hubungan antara sudut pusat dengan luas juring lingkaran?Pada kegiatan 3, akan kita cari tahu hubungan antar sudut pusat dengan panjang busur, serta sudut pusat dengan luas juring.Masalah3.4
76Kelas VIII SMP/MTsSemester 2Sejarah π (pi)Bilangan π adalah salah satu bilangan yang ditemukan sejak jaman dahulu. Bilangan itu menunjukkan perbandingan dari keliling terhadap diameter lingkaran.Beberapa orang jaman dulu menggunakan bilangan 3 sebagai bilangan π. Bilangan itu jauh dari keakuratan, namun bilangan itu mudah untuk digunakan dalam perhitungan. Orang Babilonia menggunakan bilangan yang hampir akurat: 3 + 81. Kemudian orang Mesir kuno, yang diperkirakan berusia 1650 Sebelum Masehi, menggunakan nilai π yaitu 4 × 98 × 98 . Kemudian sekitar 250 Sebelum Masehi, seorang matematikawan Yunani terkenal bernama Archimedes menggunakan poligon sebagai bantuan untuk menemukan nilai π yaitu antara 71223 dan 722. Pada abad ke-50, seorang matematikawan Cina bernama Zu Chungzhi bilangan π yang lebih akurat daripada temuan Archimedes. Nilai ini tersebut adalah 113355, dan enam satuan desimal π seperti yang sekarang digunakan. Pada tahun 1400, seorang matematikawan Persia bernama Al Kashi menemukan nilai π hingga 16 digit desimal. Dia menggunakan strategi Archimedes, namun dia melipatgandakan sisinya 23 kali.egiatanK 3.3Memahami Hubungan Sudut Pusat dengan Panjang Busur dan Luas JuringPengalaman belajar yang diharapkan setelah kalian melakukan kegiatan 3.3 adalah:1.Menentukan hubungan sudut pusat dengan panjang busur.2.Menentukan hubungan sudut pusat dengan luas juring.Masih ingat kah kalian dengan rumus keliling dan luas lingkaran yang sudah kalian peroleh ketika SD dulu.Rumus keliling lingkaran yaitu ...Rumus luas lingkaran yaitu ...Mungkin, dulu kalian bertanya “Mengapa rumusnya seperti itu?” , atau “Dari manakah asal mula rumus itu?”. Dalam kedua rumus tersebut, terdapat suatu konstanta yang tentu, yaitu π (pi). Tahukah kamu dari manakah asal mula bilangan pi. Pada kegiatan ini kita akan mengetahui asal usul bilangan π, serta rumus keliling dan luas lingkaran. Sumber: camphalfblood.wikia.comGambar 3.3Archymedes
77MATEMATIKAWilliam Jones, seorang matematikawan Inggris, memperkenalkan simbol modern untuk “pi” pada tahun 1700. Simbol “π” dipilih karena π di Yunani, pelafalan huruf π menyerupai huruf “pi” singkatan perimeter (keliling lingkaran). Sejalan dengan berkembangnya teknologi, penemuan nilai π telah lebih dari 1 triliun digit di belakang koma.Nilai konstanta π yang sekarang kita kenal adalah rasio antara keliling lingkaran dengan diameternya. Jika dinyatakan dengan symboldK= π. Dengan kata lain = ... ×... . Karena d = 2r, maka hubungan tersebut dapat juga dinyatakan K = ___________Menurut kalian berapakah keliling lingkaran di samping?1. Lakukan percobaan untuk menemukan bilangan π denngan langkah-langkah sebagai berikuta.Ukurlah keliling dan diameter benda di sekitar kalian yang berbentuk lingkaranb.Hitunglah rasio (dalam bentuk bilangan desimal) keliling terhadap diameter dari pengukuran tersebut (Kd).c.Lakukan langkah a dan b untuk minimal lima benda berbeda.d.Amati rasio (Kd) dari kelima benda tersebut. Benarkah mendekati nilai π?2. Buatlah laporan yang menarik untuk dipajangkan.TugasProjek3.1Pada kegiatan 3 ini kita akan mencari tahu hubungan antara luas lingkaran, sudut pusat, dan luas juring lingkaran, serta keliling lingkaran, sudut pusat,dan panjang busur lingkaran.AyoKita AmatiBagaimana kalau yang ditanyakan adalah hanya busur dari lingkaran. Mari kita temukan rumus untuk menentukannya.Amati garis yang berwarna merah adalah gambar panjang busur lingkaran yang bersesuaian dengan sudut pusatnya masing-masing. Lengkapi sel yang masih kosong. pada Tabel 3.3a.
78Kelas VIII SMP/MTsSemester 2Tabel 3.3a Panjang Busur LingkaranGambar BusurRasio sudut pusat αterhadap 360°Rasio panjang busur terhadap keliling lingkaran360αlingka ra nKe lilingbusurpanjang270°360270 = 4343180°120°90°60°
79MATEMATIKAJika jari-jari dan sudut pusat ketiga gambar di bawah ini diketahui, dapatkah kalian menentukan luas ketiga daerah yang diwarnai merah?Untuk menentukan luas gambar A tentunya mudah. Kalian bisa menggunakan rumus luas lingkaran yang sudah kalian ketahui. Bagaimana dengan luas juring pada Lingkaran B dan Lingkaran C?Mari kita temukan rumus untuk menentukan luas juring tersebut.Berikut ini daerah yang berwarna merah adalah gambar juring lingkaran yang bersesuaian dengan sudut pusatnya masing-masing. Lengkapi sel yang masih kosong pada Tabel 3.3b berikut.Tabel 3.3b Luas Juring LingkaranGambar BusurRasio sudut pusat α terha-dap 360°Rasio luas juring terhadap keliling lingkaran360αlingkaranlua sjuringlua s270°180°ABαCβ
80Kelas VIII SMP/MTsSemester 2120°90°60°αDari pengamatan kalian terhadap Tabel 3.3a dan 3.3b, buatlah pertanyaan tentang hal yang penting untuk dipertanyakan.Kalimat tanya sebaiknya terdapat kata “juring” atau “busur”.Misal:“Berapakah panjang busur lingkaran dengan sudut pusat α?”“Berapakah luas juring lingkaran yang sudut pusatnya 20°?Ayo KitaMenanya??α
81MATEMATIKAAyo KitaMenalar1.Amati dan bandingkan kolom 1 dan 2 pada Tabel 3.4. Bagaimana rasionya?Buatlah simpulan tentang rumus menentukan panjang busur AB yang diketahui jari-jarinya r dan sudut pusatnya α.αOABrUkuran sudut pusat satu lingkaran penuh adalah antara 0° sampai 360°. Kalau kita ingat kembali pada kegiatan 3.1, kita dapatkan informasi bahwa luas juring dan panjang busur sebanding dengan besarnya sudut pusat. Artinya semakin besar sudut pusat, semakin besar pula luas juring dan panjang busurnya. Dari kegiatan mengamati di atas diperoleh ringkasan informasi seperti berikut. Lengkapi sel yang masih kosong pada Tabel 3.4.Tabel 3.4 Panjang busur dan Luas juringAyo KitaMenggali Informasi+=+Rasio sudut pusat α terhadap 360°Rasio panjang busur terhadap keliling lingkaranRasio luas juring terhadap luas lingkaran360αlingka ra nKe lilingbusurpanjanglingkaranlua sjuringluas360270360180360903606036030360α
82Kelas VIII SMP/MTsSemester 23.Pada kondisi yang bagaimana, panjang busur sama dengan keliling lingkarannya? Jelaskan.4.Pada kondisi yang bagaimana, luas juring sama dengan luas lingkarannya? Jelaskan.5.Manakah yang lebih luas.a.Juring lingkaran A dengan sudut pusat α dan jari-jari r, ataub.Juring lingkaran B dengan sudut pusat α21 dan jari jari 2r. 6.Tentukan suatu busur dengan jari-jari dan sudut pusat tertentu, sedemikian sehingga panjangnya sama dengan busur lingkaran dengan jari-jari r dan sudut pusat α.Petunjuk:a.Tentukan panjang busur lingkaran yang jari-jari r dan sudut pusat α.b.Buatlah busur baru dengan jari-jari tertentu yang dimaksud di atas.2.Amati dan bandingkan kolom 1 dan 3 pada tabel di atas. Bagaimanakah rasionya?Buatlah simpulan tentang rumus luas juring AOB yang diketahui jari-jarinya r dan sudut pusatnya α.αOABrPresentasikan hasil penalaranmu kepada teman-teman kalian. Presentasikan rumus umum untuk menentukan panjang busur serta rumus umum untuk menentukan luas juring.Ayo KitaBerbagi1.Tentukan luas juring lingkaran yang diketahui sudut pusatnya 70°dan jari-jarinya 10 cm .2.Tentukan panjang busur lingkaran yang diketahui sudut pusatnya 35°dan jari-jarinya 7 cm .3.Lingkaran A memiliki jari-jari 14 cm. Tentukan sudut pusat dan jari-jari suatu juring lingkaran lain agar memiliki luas yang sama dengan lingkaran A. 4.Buatlah lingkaran A dengan jari-jari tertentu, sedemikian sehingga luasnya sama dengan juring pada lingkaran B dengan sudut pusat dan jari-jari tertentu. Jelaskan.5.Diketahui: (1) Lingkaran penuh dengan jari-jari r, (2) setengah lingkaran dengan jari-jari 2r. Tentukan manakah yang kelilingnya lebih besar?Latihan!?!?3.3
83MATEMATIKADengan memotong lingkaran menjadi potongan juring yang sama, kita dapat menyusunnya menjadi bentuk yang menyerupai jajargenjang seperti pada gambar di bawah ini. Perhatikan bahwa panjang sisi bagian bawah dan atas persegi panjang tersebut adalah setengah dari keliling lingkaran.2 π rr π rrTinggi bentuk yang menyerupai jajargenjang tersebut sama dengan jari-jari lingkaran. Ingat bahwa luas jajargenjang adalah hasil kali dari alas dengan tingginya. Sehingga didapat Rumus luas lingkaran L = (πr)(r) = πr2Projek kalianTemukan rumus luas lingkaran dengan pendekatan bangun datar lain.TugasProjek3.2Tuliskan hal-hal penting yang telah kalian dapat dari belajar materi lingkaran.1.Bagaimanakah hubungan sudut pusat dengan sudut keliling yang menghadap busur tersebut?2.Bagimanakah hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan keliling lingkaran?3.Bagaimanakah hubungan antara sudut pusat, luas juring, dan luas lingkaran?Merangkum3
84Kelas VIII SMP/MTsSemester 21.Suatu kue berbentuk lingkaran padat dengan jari-jari 14 cm. Kue tersebut dibagi menjadi 6 bagian berbentuk juring yang sama luas. Tentukan:a)Sudut pusat masing masing potongan.b)Luas potongan kue tersebut.2.Tentukan keliling daerah yang diarsir pada bangun berikut.3.Amati gambar di bawah ini. Tentukan keliling dan luas daerah yang diarsir. 14 cma)14 cm14 cm26 cm26 cmb)UjiKompetensi+=+??314 cm14 cma)10 cm10 cm5 cm5 cmb)
85MATEMATIKA5.Perhatikan gambar berikut.Pada gambar disamping, panjang AB = 12 cm dan AC = 16 cm. Titik O merupakan titik pusat lingkaran. Hitunglah:a.Jari-jari lingkaran Ob.Luas daerah yang diarsir6.Diketahui ∠OAB = 55o dan AB = BC. Pada gambar disamping, panjang AB = 12 cm dan AC = 16 cm. Titik O merupakan titik pusat ling-karan. Hitunglah:a.Jari-jari lingkaran Ob.Luas daerah yang diarsir7.Diketahui segitiga ABC yang ketiga titik sudutnya berada pada lingkaran O. Jika panjang sisi segitiga 14 cm, tentukan luas daerah yang di arsir.4.Perhatikan gambar di sebelah ini.. Besar sudut pusat AOB adalah 900, kemudian jari-jarinya = 21 cmHitunglah luas daerah yang diarsir. OABABOCABCOOABC
86Kelas VIII SMP/MTsSemester 28.Perhatikan gambar di samping ini.Diketahui AEB = 62oHitunglah besar: ∠ADB, ∠ACB, dan ∠ABC9.Perhatikan gambar di samping ini.Bila diketahui ∠APB + ∠AQB + ∠ARB = 1.440, maka tentukan besar ∠AOB .11.Suatu pabrik membuat biskuit yang berbentuk lingkaran padat dengan diameter 5 cm. Sebagai variasi pabrik tersebut juga ingin membuat biskuit dengan ketebalan sama namun berbentuk juring lingkaran dengan sudut pusat 90o. Tentukan diameter biskuit tersebut agar bahan produksinya sama dengan biskuit yang berbentuk lingkaran.12.Pak Santoso memiliki lahan di belakang rumahnya berbentuk persegi dengan ukuran panjang sisi 28 m × 28 m. Taman tersebut sebagian akan dibuat kolam (tidak diarsir) dan sebagian lagi rumput hias (diarsir). Jika biaya pemasangan rumput Rp50.000,00/m2. Sedangkan biaya tukang pemasang rumput Rp250.000,00.a.Tentukan keliling lahan rumput milik Pak Santoso tersebut.b.Tentukan anggaran yang harus disiapkan oleh Pak Santoso untuk mengolah lahan tersebut .ABCDEPABQRPO282810.Perhatikan lingkaran O di samping.Diketahui m∠BOD = 110°Tentukan m∠BCD.AOBCD
87MATEMATIKA13.Diketahui bahwa luas daerah yang diarsir setengah dari luas daerah yang tidak diarsir . Tentukan AB ÷ AC.16.Suatu pabrik biskuit memproduksi dua jenis biskuit berbentuk cakram dengan ketebalan sama, tetapi diameternya beda. Permukaan kue yang kecil dan besar masing-masing berdiameter 7 cm dan 10 cm.Biskuit tersebut dibungkus dengan dua kemasan berbeda. Kemasan biskuit kecil berisi 10 biskuit dijual dengan harga Rp7.000,00 sedangkan kemasan kue besar berisi 7 biskuit dijual dengan harga Rp10.000,00 Manakah yang lebih menguntungkan, membeli kemasan biskuit yang kecil atau yang besar? Tuliskan alasanmu?ABC15.Diketahui dua lingkaran yang isosentris (pusatnya sama di O). Jika AB = 70 cm, tentukan luas daerah yang diarsir.Petunjuk: Ingat kembali teorema pythagorasABO14.Diketahui persegi ABCD tersusun dari empat 4 persegi kecil sama ukuran dengan panjang sisi = 10 cm. Tentukan luas daerah yang diarsir berikut. Jelaskan.DABC10 cm10 cmSumber: bici.staff.umm.ac.idGambar 3.6 Biskuit
88Kelas VIII SMP/MTsSemester 217.Suatu ketika anak kelas VIII SMPN 1 Malang mengadakan study tour ke Kebun Raya Pasuruan. Guru menugasi siswa untuk memperkirakan diameter suatu pohon yang cukup besar. Erik, Dana, Veri, Nia, dan Ria berinisiatif untuk menghitung diameter pohon tersebut dengan mengukur keliling pohon. Mereka saling mengaitkan ujung jari seperti terlihat pada gambar. Rata-rata panjang dari ujung jari kiri sampai ujung jari kanan setiap siswa adalah 120 cm. Jika tepat lima anak tersebut saling bersentuhan ujung jarinya untuk mengelilingi pohon tersebut, bisakah kalian menentukan (perkiraan) panjang diameter pohon tersebut?18.Suatu ban mobil berdiameter 60 cm (0,6 m). Ban tersebut bergaransi hingga menempuh 70.000 km. Sampai dengan berapa putaran ban tersebut hingga masa garansinya habis? (1km = 1.000m)19.Suatu satelit beredar mengelilingi bumi pada ketinggian 2.000 km dari permukaan bumi. Jika perkiraan diameter bumi adalah 12.800 km, tentukan panjang lintasan yang ditempuh satelit tersebut untuk satu kali mengorbit mengelilingi bumi.20.Perhatikan gambar berikut.Sebutkan sebanyak mungkin (jika ada) bagian yang disebut :a.Jari-jarib.Diameterc.Juringd.Tali busure.Busurf.Temberengg.Apotemah.Sudut kelilingAOFIEGHDBC∟